Wir betrachten im folgenden Stellenwertsysteme. Nicht-stellenwertige Zahlensysteme wie römische Zahlen lassen wir aus.
Definition
Ein Stellenwertsystem ist ein Zahlensystem, bei dem der Wert einer Ziffer von ihrer Position innerhalb der Zahl abhängt.
¶ Beispielsysteme
Es gibt unendlich viele Zahlensysteme. Hier ein paar Beispiele.
| Basis | Ziffern | Stellenwerte Potenzschreibweise | Stellenwerte |
|---|---|---|---|
| 10 | 0,1,...,9 | ..., 103, 102, 101, 100 | ..., 1000, 100, 10, 1 |
| 2 | 0,1 | ..., 23, 22, 21, 20 | ..., 8, 4, 2, 1 |
| 3 | 0,1,2 | ... 33, 32, 31, 30 | ..., 27, 9, 3, 1 |
| 8 | 0,1,...,7 | ..., 103, 102, 101, 100 | ..., 512, 64, 8, 1 |
| 16 | 0-9,A,B,C,D,E,F | ..., 163, 162, 161, 160 | ..., 4096, 256, 16, 1 |
¶ beliebiges Zahlensystem -> Dezimalsystem
Vorgehen:
- Bestimme die Stellenwerte deines Zahlensystems (z.Bsp. Binär 1, 2, 4, 8, usw.)
- Multipliziere jede Ziffer der Zahl mit ihrem Stellenwert
- Bilde die Summe
𝑍=𝑎𝑛⋅𝑏𝑛 + 𝑎𝑛−1⋅𝑏𝑛−1 + … + 𝑎1⋅𝑏1 + 𝑎0⋅𝑏0
Dabei gilt:
- b ... Basis des Zahlsystems
- n ... Anzahl der Stellen -1
- 𝑎𝑛 ... Ziffer des Zahlsystems
Aufgabe
Wandle folgende Zahlen in das Dezimalsystem um.
- (1101)2 = (13)10
- (1111)2 = (15)10
- (10000000)2 = (128)10
- (11111111)2 = (255)10
- (11110111)2 = (247)10
- (2010)3 = (30)10
- (40)5 = (20)10
- (F)16 = (15)10
- (C2)16 = (194)10
¶ Dezimalsystem -> belibiges Zahlensystem
Vorgehen:
- teile die Zahl durch die Basis des Zielsystems, notierte ganzzahliges Ergebnis und Rest
- Wiederhole Schritt 1. mit dem Zwischenergebnis, bis Zwischenergebnis = 0
- Lies die Reste von unten nach oben ab.
Beispiel:
(187)10 = (10111011)2
(187)10 = (BB)16
Aufgabe
Wandle folgende Dezimalzahlen in das gegebene Zahlensystem um.
- (100)10 = (...)2
- (161)10 = (...)2
- (65)10 = (...)16
- (17)10 = (...)3
¶ Für interessierte: Umwandlung in Python
def dez_to(zahl: int, basis: int) -> int:
reste = []
zwischenergebnis = zahl
while zwischenergebnis != 0:
rest = zwischenergebnis % basis
zwischenergebnis = zwischenergebnis // basis
reste.append(rest)
ergebnis = ""
reste.reverse()
for rest in reste:
ergebnis = ergebnis + str(rest)
return int(ergebnis)
print(dez_to(10,2))
print(dez_to(64,2))
print(dez_to(255,2))
¶ Addition im Binärsystem
Das uns allen bekannte schriftliche Addieren funktioniert in allen Zahlensystemen.
Im Binärsystem ist
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 0
1 + 1 = 0 (Übertrag 1)
Beispiel im Binärsystem: 2(10) + 10(10)
0010
1010
-------
1100